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  • 4月 05 週六 202511:50
  • 帛書道德經


 史記《老子傳》原文: https://enif321.pixnet.net/blog/post/468573656
  【老子者,楚苦縣厲鄉曲仁里人也,姓李氏,名耳,字聃,周守藏室之史也。
  孔子適周,將問禮於老子。老子曰:“子所言者,其人與骨皆已朽矣,獨其言在耳。且君子得其時則駕,不得其時則蓬累而行。吾聞之,良賈深藏若虛,君子盛德容貌若愚。去子之驕氣與多欲,態色與淫志,是皆無益於子之身。吾所以告子,若是而已。”孔子去,謂弟子曰:“鳥,吾知其能飛;魚,吾知其能游;獸,吾知其能走。走者可以為罔,游者可以為綸,飛者可以為矰。至於龍,吾不能知其乘風雲而上天。吾今日見老子,其猶龍邪!”
  老子修道德,其學以自隱無名為務。居周久之,見周之衰,乃遂去。至關,關令尹喜曰:“子將隱矣,強為我著書。”於是老子乃著書上下篇,言道德之意五千餘言而去,莫知其所終。
  或曰:老萊子亦楚人也,著書十五篇,言道家之用,與孔子同時雲。蓋老子百有六十餘歲,或言二百餘歲,以其修道而養壽也。
  自孔子死之後百二十九年,而史記周太史儋見秦獻公曰:“始秦與周合,合五百歲而離,離七十歲而霸王者出焉。”或曰儋即老子,或曰非也,世莫知其然否。老子,隱君子也。
  老子之子名宗,宗為魏將,封於段干。宗子注,注子宮,宮玄孫假,假仕於漢孝文帝。而假之子解為膠西卬太傅,因家於齊焉。
  世之學老子者則絀儒學,儒學亦絀老子。“道不同,不相為謀”,豈謂是邪?
  李耳無為自化,清靜自正。】
 
  歷史與現實中,《五千言》傳世至今有兩個版本:
 
  第一種是原本抄寫於竹簡之上的竹簡本《五千言》,簡稱為簡版。據說,源傳於西漢河上公為老子作注的《河上公章句》,魏晉人王弼(公元226—249)又再作注。這是現在傳世通行本的祖宗,也是流傳年代最久、範圍最廣、影響最大從而傳抄擅改錯誤最多的《五千言》版本。由於《五千言》的原本逸散已久,在1970年代以前,源於王弼《老子注》的傳世通行本曾經一度成為此書的唯一留傳。至今依然影響巨大。
 
  後來,1993年又出土了公元前4世紀戰國中期的郭店楚簡本《五千言》甲乙丙三組。這是迄今為止所能見到的年代最為久遠的《五千言》抄本。可惜此簡本僅存2046字,約為傳本的五分之二。且由於墓葬曾數次被盜,竹簡有缺失,故無法精確估計此簡本原有的數量為何。
  2009年,又從海外回歸入藏北京大學一批竹簡約3300多枚,其中包括一卷比較完整的簡版《五千言》。在對殘留泥土、編繩、絲織品和漆器殘片進行取樣分析後,此批竹簡被初步定為西漢初年物品,也是距今兩千多年的古本。
 
  不過,經過章節與內容對比,不難發現,新發現的楚簡與漢簡,與傳世的王弼本版式相同,皆是分章版且把“絕學无憂”四個字劃歸到了第20章首,並與王弼本第2章一樣,同樣缺少“恆也”二字。王弼本第15章的“孰能濁以靜之?徐清;孰能安以久動之?徐生。”與楚、漢簡本基本相同,僅多一個“久”字,比楚簡少兩個虛字“將”,文意則完全相同。所以,這就充分證明:所有竹簡本《五千言》皆出於同源,乃是一個更久遠的分章古竹簡本的不同流傳抄本而已。
 
  第二種則是1973年馬王堆漢墓出土的帛書《五千言》甲乙兩個不分章的完整版本,簡稱帛版。其內容形制則與簡版差別很大,甚至不能再說兩者是同一本書了。尤其是其中的甲本,用字考究,不避諱秦始皇之“正”、漢高祖之“邦”,因而至少應是先秦文物。乙本則避劉邦諱,卻不避劉盈、劉恆諱,因而可以斷定它是漢朝初期的抄寫本無疑。
  經過內容對比,可以斷定帛乙是與北大漢簡同時期的抄本,形制卻明顯是截然不同的兩種版本系列的歷史傳承。這充分證明,在距離老子離世僅僅200多年後的漢初,社會上就已經同時存在着簡版(漢簡)與帛版(帛乙)兩種版式不同、內容差別也很大的傳世《五千言》版本了。
  帛版以其高昂的成本,決定了它只能是流傳於官方與上層社會之中的珍品。相對而言,簡版則就成為成本相對低廉從从而可以廣泛應用於教學等方面而流傳於社會的普品了。而這也就是後來隨着歷史變遷,進一步導致官方帛版失傳而民間簡版成為唯一傳世版本的客觀原因。
 
 
   由於分章必然源於不分章,再結合帛乙與漢簡兩個同時存世的版本實證,這就為我們徹底證實了《五千言》的確存在官方存檔不分章帛書正版與民間流傳方便教學的分章竹簡版兩個流傳系列的結論,從而告訴了我們一個基本校勘準則:文字校勘必須以正版帛書為準,缺漏再參考其他簡本。所以,要不是馬王堆帛書重見天日,恐怕後人永遠也不可能再知道何為《五千言》正版了,也無從談起什麼校勘準則了。所以,帛書正版《五千言》能夠在失傳兩千多年後的1970年代偶然現世,實實在在是當代國人千載難逢的莫大福音。
 
  不過,帛甲《五千言》由於埋藏時間過久而殘缺不少,因此,我們以帛書《五千言》甲本為底本,順序參照帛書乙本、北大漢簡本、楚簡本、王弼本等,校勘復原,補全補正,終於得到了現在的完整的“帛甲《五千言》校勘復原本”。
 
  帛甲本《五千言》原文不分章,內容順序也與傳世分章間版《道德經》有諸多不同。不過為了引用方便,我們還是依照帛甲文順序將其分章閱讀,以便於對照慘考。章標題是自擬的,()內的章次則是對應的王弼《老子注》或傳世通行本的章次。
  校勘原則以補足缺損原文、古今通用漢字相互替換為標準。原則上不動原文。對於少數已失傳、無法顯示的古字,能夠直接替換為現代字的,就採用對應現代字,否則,給出對應意義的現代字之後,再用圓括號內雙偏旁拆分來表示。如:窮(宀郡)。個別無法輸入與顯示的古字如“榖“的左偏旁字,在確保不損害原字本義的前提下,用間本的用字如“穀”代替。[]內是帛甲本抄漏的補正字。{}內是參考字,如哀{依},表示可參照“依”的字義。總之,目的就是一定要儘可能保持原貌,以便後來者與原帛比閱,儘可能避免歷史上廣泛存在的傳抄擅改錯誤,給大家呈現出帛甲《五千言》的真實面目。
 
                
     帛書甲本《五千言》校勘復原本
 
第一章(王本38章) 
  上德不德,是以有德;下德不失德,是以无德。
  上德无為而无以為也;上仁為之而无以為也;上義為之而有以為也;上禮為之而莫之應也,則攘臂而乃之。
  故:失道。
  失道矣而后德,失德而后仁,失仁而后義,失義而后禮;夫禮者,忠信之泊也,而亂之首也。
  前識者,道之華也,而愚之首也!是以:大丈夫居亓厚而不居亓泊,居亓實不居亓華。
  故:去皮取此。
 
 
第二章(王本39章) 
  昔之得一者,天得一以清,地得一以寧,神得一以霝,浴得一以盈,侯王得一而以為正。
  亓致之也:胃天毋已清將恐蓮,胃地毋已寧將恐發,胃神毋已霝將恐歇,胃浴毋已盈將恐渴,胃侯王毋已貴以高將恐欮。
  故:必貴而以賤為本,必高矣而以下為基。夫是以侯王自胃孤寡不穀,此亓賤之本與!非也?
  故:致數與无與!是故,不欲祿祿若玉,硌硌若石。
 
 
第三章(王本41章) 
  上士聞道,堇能行之;中士聞道,若存若亡;下士聞道,大笑之!弗笑,不足以為道。
  是以建言有之曰:明道如費,進道如芮,夷道如類。
  上德如浴,大白如辱,廣德如不足,建德如偷,質真如渝,大方无禺,大器免成,大音希聲,天象无刑。
  道褒无名:夫唯道,善始且善成。
 

 
 
第四章(王本40章) 
  反也者,道之動也;弱也者,道之用也:天下之物生於有,有生於无。
  道生一,一生二,二生三,三生萬物。萬物負陰而抱陽,中氣以為和。
 
第五章(王本42章)
  天下之所惡,唯孤寡不穀,而王公以自名也。
  勿或損之而益,益之而損。
  故:人之所教,夕議而教人。
  故:強良者不得死我,將以為學父。
 
第六章(王本43章)
  天下之至柔,馳甹於天下之致堅,无有入於无間,五是以知无為之有益也。
  不言之教,无為之益,天下希能及之矣。
 
 
第七章(王本44章) 
  名與身孰親,身與貨孰多,得與亡孰病?
  甚愛必大費,厚藏必多亡。
  故:知足不辱,知止不殆,可以長久。
 
 
第八章(王本45章) 
  大成若缺,亓用不幣。大盈若沖(沖皿),亓用不窮(宀郡)。
  大直如詘,大巧如拙,大贏如绌(火内)。
  趮勝寒,靚勝炅,請靚可以為天下正。
 
 
第九章(王本46章) 
  天下有道,却走馬以糞;天下无道,戎馬生於郊。
  罪莫大於可欲,禍莫大於不知足,咎莫憯於欲得。
  故:知足之足,恆足矣。
 
 
第十章(王本47章) 
  不出於戶,以知天下;不規於牖,以知天道。亓出也彌遠,亓知也彌少。
  是以:聖人不行而知,不見而名,弗為而成。
 
 
第十一章(王本48章) 
  為學者日益,聞道者日損。損之又損,以至於无為。无為而无不為:
  取天下也,恆无事,及亓有事也,不足以取天下。
 
 
第十二章(王本49章) 
  聖人恆无心,以百姓之心為心。
  善者善之,不善者亦善之,德善也。信者信之,不信者亦信之,德信也。
  聖人之在天下,歙歙(翕心)焉,為天下渾心,百姓皆屬耳目焉,聖人皆咳之。
 
 
 


 
第十三章(王本50章)
  出生入死,生之徒十有三,死之徒十有三,而民生,生、動皆之死地之十有三。夫何故也,以亓生生也。
  蓋聞善執生者,陵行不辟矢虎,入軍不被甲兵。矢无所椯亓角,虎无所昔亓蚤,兵无所容亓刃。
  夫何故也,以亓无死地焉。
 
 
 
第十四章(王本51章)
  道生之而德畜之,物刑之而器成之。
  是以:萬物尊道而貴德。
  道之尊,德之貴也,夫莫之爵而恆自然也。
  道:生之畜之,長之遂之,亭之毒之,養之復之。
  生而弗有也,為而弗寺也,長而勿宰也,此之謂玄德。
 
 
第十五章(王本52章)
  天下有始,以為天下母。既得亓母,以知亓子,復守亓母,沒身不殆。
  塞亓悶,閉亓門,終身不堇;啟亓悶,濟亓事,終身不棘。
  見小曰明(目目),守柔曰強。用亓光,復歸亓明(目目),毋道身央,是胃襲常。
 
 
第十六章(王本53章)
  使我介(扌絜)有知也,行於大道,唯他是畏。
  大道甚夷,民甚好解。
  朝甚除,田甚蕪,倉甚虛;服文采,帶利劍,猒食,貨財有餘,是胃盜夸。
  盜夸,非道也。
 
 
第十七章(王本54章)
  善建者不撥,善抱者不脫,子孫以祭祀不絕。
  修之身亓德乃真,修之家亓德有餘,修之鄉亓德乃長,修之邦亓德乃夆,修之天下亓德乃博。
  以身觀身,以家觀家,以鄉觀鄉,以邦觀邦,以天下觀天下。
  吾何以知天下之然茲?以此。
 
 
第十八章(王本55章)
  含德之厚者,比於赤子:
  逢蝲(彳剌)猥(虫畏)地弗螫,攫鳥猛獸弗搏;骨弱筋柔而握固,未知牝牡之會而脧怒,精之至也;終日號而不嚘,和之至也。
  和曰常,知常曰明(目目),益生曰祥,心使氣曰強。
  物壯即老,胃之不道,不道蚤已。
 
 
第十九章(王本56章)
  知者弗言,言者弗知。
  塞亓悶,閉亓門,和亓光,同亓塵(轸土),坐亓閱,解亓紛,是胃玄同。
  故:不可得而親,亦不可得而疏;不可得而利,亦不可得而害;不可得而貴,亦不可得而淺。
  故為天下貴。
 
 
 
 
第二十章(王本57章)
  以正之邦,以畸用兵,以无事取天下。吾何以知亓然也哉?
  夫天下多忌諱,而民彌貧;民多利器,而邦家茲昏;人多知,而何物茲起;法物茲章,而盜賊多有。
  是以聖人之言,曰:我无為也而民自化;我好靜而民自正;我无事而民自富;我欲不欲而民自楃。
 
 
第二十一章(王本58章)
  亓正閔閔,亓民屯屯;亓正察察,亓邦夬夬。
  禍,福之所倚;福,禍之所伏;孰知亓極?亓无正也!正復為畸,善復為妖,人之迷也,亓日固久矣。
  是以:方而不割,兼而不刺,直而不紲,光而不眺。
 
 
第二十二章(王本59章)
  治人事天莫若嗇。
  夫唯嗇,是以蚤服;蚤服是胃重積德;重積德則无不克;无不克則莫知亓極;莫知亓極,可以有國。
  有國之母,可以長久!是胃深槿固氐,長生久視之道也。
 
 
第二十三章(王本60章)
  治大國若亨小鮮。
  以道立天下,亓鬼不神。非亓鬼不神也,亓神不傷人也。非亓申不傷人也,聖人亦弗傷也。
  夫兩不相傷,故德交歸焉。
 
 
第二十四章(王本61章)
  大邦者,下流也,天下之牝,天下之郊也。
  牝恆以靚勝牡。為亓靚也,故宜為下。
  大邦以下小邦,則取小邦;小邦以下大邦,則取於大邦。
  故:或下以取,或下而取。
  故:大邦者不過欲兼畜人,小邦者不過欲入事人。
  夫皆得亓欲,則大者宜為下。
 
第二十五章(王本62章)
  道者,萬物之注也。善人之葆也,不善人之所葆也。
  美言可以市,尊行可以賀人,人之不善也,何棄之有?
  故立天子,置三卿,雖有共之璧以先四馬,不善坐而進此。
  古之所以貴此者,何也?不胃求以得有,罪以免輿?!
  故為天下貴。
 
第二十六章(王本63章)
  為无為,事无事,味无未。大小多少,報怨以德。
  圖難乎?亓易也;為大乎?亓細也。天下之難作於易,天下之大作於細。
  是以聖人冬不為大,故能成亓大。
  夫巠若必寡信,多易必多難。是以聖人猷難之,故終於无難。
 
 
 
 
第二十七章(王本64章)
  亓安也,易持也;亓未兆也,易謀也;亓脆也,易判也;亓微也,易散也。
  為之於亓未有也,治之於亓未亂也。
  合抱之木,生於毫末;九成之臺,作於羸土;百仁之高,台於足下。
  為之者敗之,執之者失之。是以聖人无為也,故无敗也;无執也,故无失也。
  民之從事也,恆於亓成事而敗之。故慎終若始,則无敗事矣。
  是以聖人欲不欲而不貴難得之貨(月爲),學不學而復眾人之所過,能輔萬物之自然而弗敢為。
 
 
第二十八章(王本65章)
  故曰:為道者非以明(目目)民也,將以愚之也。
  民之難治也,以亓知也。故以知知邦,邦之賊也;以不知知邦,邦之德也。
  恆知:此兩者亦稽式也;恆知稽式,此胃玄德。
  玄德深矣遠矣,與物反矣,乃至大順。
 
 
第二十九章(王本66章)
  江海之所以能為百浴王者,以亓善下之,是以能為百浴王。
  是以聖人之欲上民也,必以亓言,下之;亓欲先民也,必以亓身,後之。故居前而民弗害也,居上而民弗重也。天下樂隼而弗猒也。
  非以亓无諍與?故天下莫能與諍。
 
 
第三十章(王本80章)
小邦寡民,使十百人之器毋用。
使民重死而遠送,有車周无所乘之,有甲兵无所陳之。
使民復結繩而用之,甘亓食,美亓服,樂亓俗,安亓居。
  鄰邦相望,雞狗之聲相聞,民至老死不相往來。
 
 
第三十一章(王本81章)
  信言不美,美言不信;知者不博,博者不知;善者不多,多者不善。
  聖人无積:既以為人已俞有,既以予人矣已俞多。
  故:天之道,利而不害;人之道,為而弗諍。
 
 
第三十二章(王本67章)
  天下皆胃我大,大而不宵。夫唯大,故不宵。若宵,細久矣。
  我恆有三葆之:一曰茲,二曰檢,三曰不敢為天下先。
  夫茲,故能勇;檢,故能廣;不敢為天下先,故能為成事長。
  今舍亓茲且勇,[舍亓检且广,]舍亓後且先,則必死矣。
  夫茲以戰則勝,以守則固。
  天將建之,女以茲垣之。
 
 
第三十三章(王本68章)
  善為士者不武,善戰者不怒,善勝敵者弗與,善用人者為之下。
  是胃不諍之德,是胃用人,是胃天古之極也。
 


 
 
 
第三十四章(王本69章)
  用兵有言曰:
  吾不敢為主而為客,吾不進寸而芮尺。
  是胃:行无行,襄无臂,執无兵,乃无敵矣。
  禍莫於,於无適,无適斤亡吾、吾葆矣。
  故:稱兵相若,則哀{依}者勝矣。
 
 
第三十五章(王本70章)
  吾言甚易知也,甚易行也,而人莫之能知也,而莫之能行也。
  言有君,事有宗,夫唯无知也,是以不我知。
  知者希,則我貴矣。
  是以:聖人被褐而褱玉。
 
 
第三十六章(王本71章)
  知不知,尚矣。不知不知,病矣。
  是以:聖人之不病,以亓病病也,是以不病。
 
 
第三十七章(王本72章)
  民之不畏畏,則大畏將至矣。
  毋閘亓所居,毋猒亓所生,夫唯弗猒,是以不猒。
  是以:聖人自知而不自見也,自愛而不自貴也。
  故:去被取此。
 
 
第三十八章(王本73章)
  勇於敢者則殺,勇於不敢者則栝。此兩者或利或害,天之所惡,孰知亓故?
  天之道,不戰而善勝,不言而善應,不召而自來,彈而善謀:天罔怪怪(衤圣),疏而不失。
 
 
第三十九章(王本74章)
  若民恆且不畏死,奈何以殺懼之也?
  若民恆是死,則而為者,吾將得而殺之,夫孰敢矣?
  若民恆且必畏死,則恆有司殺者。夫伐司殺者殺,是伐大匠斲也。
  夫伐大匠斲者,則希不傷亓手矣。
 
 
第四十章(王本75章)
  人之飢也,以亓取食稅之多也,是以飢。
  百姓之不治也,以亓上有以為也,是以不治。
  民之巠死,以亓求生之厚也,是以巠死。
  夫唯無以生為者,是賢貴生。
 
 
第四十一章(王本76章)
  人之生也柔弱,亓死也恆(艹恆)仞賢強;萬物草木之生也柔脆,亓死也枯槁(木車)(高死)。
 
 
  故曰:堅強者,死之徒也;柔弱微細,生之徒也。
  兵強則不勝,木強則恆。
  強大居下,柔弱微細居上。
 
 
第四十二章(王本77章)
  天下之道,酉張弓者也:高者印之,下者舉之;有餘者損之,不足者補之。
  故:天之道損有餘而益不足;人之道則不然,損不足而奉有餘。
  孰能有餘而有以取奉於天者乎?唯有道者。
  是以:聖人為而弗有,成功而弗居也。
  若此,其不欲見賢也。
 
 
第四十三章(王本78章)
  天下莫柔弱於水,而攻堅強者莫之能勝也,以亓无以易之也。
  水之勝剛也,弱之勝強也,天下莫弗知也,而莫之能行也。
  故聖人之言云,曰:受邦之詬,是胃社稷之主;受邦之不祥,是胃天下之王。
  正言若反。
 
第四十四章(王本79章)
  和大怨,必有餘怨,焉可以為善?
  是以:聖[人]右介而不以責於人。
  故:有德司介,无德司勶。
  夫天道无親,恆與善人。
 
 
第四十五章(王本1章)
  道,可道也,非恆道也;名,可名也,非恆名也。
  无,名萬物之始也;有,名萬物之母也。
  故:恆无,欲也,以觀其眇;恆有,欲也,以觀其所噭。
  兩者同出異名,同胃玄。
  之有玄,眾眇之門。
 
 
第四十六章(王本2章)
  天下皆知美為美,惡已;皆知善,訾(言匕)不善矣。有无之相生也,難易之相成也,長短之相刑也,高下之相盈也,意聲之相和也,先後之相隋:恆也。
  是以:聲人居无為之事,行不言之教,萬物昔而弗始也,為而弗志也,成功而弗居也。
  夫唯居,是以弗去。
 
 
第四十七章(王本3章)
  不上賢,使民不爭;不貴難得之貨,使民不為盜;不見可欲,使民不亂。
  是以聲人之治也:虛其心,實其腹,弱其志,強其骨;恆使民无知无欲也,使夫知不敢弗為而已,則无不治矣。
 
 
第四十八章(王本4章)
  道沖,而用之有弗盈也。潚呵,始萬物之宗。
  銼其[閱],解其紛,和其光,同其塵(轸土)。湛呵,始或存。
 
 
  吾不知誰子也,象帝之先。
 
 
第四十九章(王本5章)
  天地不仁,以萬物為芻狗;聲人不仁,以百省為芻狗。
  天地之間,其猷橐籥輿?虛而不淈,蹱而俞出。
  多聞數窮,不若守於中。
 
 
第五十章(王本6章)
  浴神不死,是胃玄牝。
  玄牝之門,是胃天地之根。縣縣呵若存,用之不堇。
 
 
第五十一章(王本7章)
  天長地久,天地所以能長且久者,以其不自生也,故能長生。
  是以聲人芮其身而身先,外其身而身存。不以其无私輿?故能成其私。
 
 
第五十二章(王本8章)
  上善佀水,水善利萬物而有靜,居眾之所惡,故幾於道矣。
  居善地,心善潚,予[善天,言]善信,正善治,事善能,蹱善時。
  夫唯不靜,故无尤。
 
 
第五十三章(王本9章)
  扌直而盈之,不若其已。
  揣(扌短)而允之,不可長葆之。
  金玉盈室,莫之守也。
  貴富而驕,自遺咎也。
  功述身芮,天之道也。
 
 
第五十四章(王本10章)
  戴營袙(礻白)抱一,能毋離乎?
  槫氣至柔,能嬰兒乎?
  修除玄藍,能毋疵乎?
  愛民栝邦,能毋以知乎?
  天門啟闔,能為雌乎?
  明白四達,能毋以为{知}乎?
  生之畜之,生而弗有,長而弗宰也,是胃玄德。
 
 
第五十五章(王本11章)
  卅輻同一轂,當其无,有車之用也;
  然埴為器,當其无,有埴器之用也;
  鑿戶牖,當其无,有室之用也。
  故:有之以為利,无之以為用。
 
 

 
第五十六章(王本12章)
  五色使人目明(目目),
  馳騁田臘使人心發狂,
  難得之貨使人之行方,
  五味使人之口爽(口相),
  五音使人之耳聾。
  是以:聲人之治也,為腹不為目。
  故去罷耳此。
 
 
第五十七章(王本13章)
  龍辱若驚,貴大梡若身。
  苛胃龍辱若驚?
  龍之為下,得之若驚,失之若驚,是胃龍辱若驚。
  何胃貴大梡若身?
  吾所以有大梡者,為吾有身也,及吾无身,有何梡?
  故:貴為身於為天下,若可以託(辶石)天下矣;愛以身為天下,女可以寄天下。
 
 
五十八章(王本14章)
  視之而弗見,名之曰微;聽之而弗聞,名之曰希;捪之而弗得,名之曰夷。三者不可至計,故混(口束)而為一。
  一者,其上不攸(亻收),其下不忽(忄勿)。尋尋呵不可名也,復歸於无物,是胃无狀之狀。
  无物之象,是胃忽望。隋而不見其後,迎而不見其首。
  執今之道,以御今之有,以知古始,是胃道紀。
 
 
第五十九章(王本15章)
  古之善為道者,微眇玄達,深不可志。
  夫唯不可志,故強為之容。曰:
  與呵,其若冬涉水;
  猷呵,其若畏四鄰;
  嚴呵,其若客;
  渙呵,其若凌澤;
  沌呵,其若楃;
  湷呵,其若濁;
  曠(氵荘)呵,其若浴。
  濁而情之,余清;女以重之,余生。
  葆此道,不欲盈。夫唯不欲盈,是以能敝而不成。
 
 
第六十章(王本16章)
  至虛極也,守情表也,萬物旁作,吾以觀其復也。
  天物云云,各復歸於其根,曰情;情,是胃復命;復命,常也;知常,明(目目)也。不知常,妄,妄作凶。
  知常容,容乃公,公乃王,王乃天,天乃道,道乃久。沕身不怠(以心)。
 
 
第六十一章(王本17、18、19章)
  大上,下知有之;其次,親譽之;其次,畏之;其下,母之。

 
  信不足,案有不信。猷呵,其貴言也。成功遂事,而百省胃我自然。
  故大道廢,案有仁義;知快出,案有大偽;六親不和,案有畜茲;邦家悶乳,案有貞臣。
  絕聲棄知,民利百負;絕仁棄義,民復畜茲;絕巧棄利,盜賊无有。
  此三言也,以為文未足,故令之有所屬:
  見素抱楃,少私寡慾,絕學无憂。
 
 
第六十二章(王本20章)
  唯與訶,其相去幾何?美與惡,其相去何若?人之所畏,亦不可以不畏。望呵,其未央才。
  眾人熙熙,若鄉於大牢而春登臺。我泊焉未佻,若嬰兒未咳。累呵,如无所歸。
  眾人皆有餘,我獨遺。我禺人之心也,惷惷呵。
  鬻人昭昭,我獨若昏(門肙)呵。鬻人蔡蔡,我獨悶悶呵。
  忽(忄勿)呵,其若海。望呵,其若无所止。
  眾人皆有以,我獨頑以悝。吾欲獨異於人,而貴食母。
  
 
第六十三章(王本21章)
  孔德之容,唯道是從。
  道之物,唯望唯忽。忽呵望呵,中有象呵;望呵忽呵,中有物呵。
  幽呵鳴呵,中有請吔,其請甚真,其中有信,自今及古,其名不去。
  以順眾父(亻父),吾何以知眾父之然?以此。
 
 
第六十四章(王本24章)
  炊者不立,自視不章,自見者不明(目目),自伐者无功,自矜者不長。
  其在道曰:余(米余)食贅行。物或惡之,故有欲者弗居。
 
 
第六十五章(王本22章)
  曲則金,枉則定,洼則盈,敝則新,少則得,多則惑。
  是以:聲人執一以為天下牧。
  不自視故明(目目),不自見故章,不自伐故有功,弗矜故能長。
  夫唯不爭,故莫能與之爭。古之所胃曲金者,幾語才?誠金歸之。
 
 
第六十六章(王本23章)
  希言自然:飄風不冬朝,暴雨不冬日!孰為此?天地而弗能久,有兄於人乎?!
  故:從事而道者同於道,德者同於德,失{者}者同於失。
  同於德者,道亦德之;同於失者,道亦失之。
 
 
第六十七章(王本25章)
  有物昆成,先天地生。繍呵繆呵,獨立而不垓(王亥),可以為天地母。
  吾未知其名,字之曰道。吾強為之名曰:大。大曰筮,筮曰遠,遠曰反。
  道大、天大、地大、王亦大。國中有四大,而王居一焉。
  人法地,地法天,天法道,道法自然。
 
 
第六十八章(王本26章)
  重為巠根,清為趮君。

 
  是以:君子眾日行,不離其甾重。
  唯有環官燕處,則昭若。
  若何萬乘之王而以身巠於天下?
  巠則失本,趮則失君。
 
 
第六十九章(王本27章)
  善行者无勶跡,善言者无瑕適,善數者不以檮筭(竹析),善閉者无鎖(門串)籥,而不可啟也,善結者无纆約,而不可解也。
  是以:聲人恆善救(忄求)人,而无棄人,物无棄財,是胃曳(忄申)明(目目)。
  故:善人,善人之師;不善人,善人之資也。
  不貴其師,不愛其資,唯知乎?大眯!是胃眇要。
 
 
第七十章(王本28章)
  知其雄,守其雌,為天下溪;為天下溪,恆德不雞;恆德不雞,復歸嬰兒。
  知其白,守其辱,為天下浴;為天下浴,恆德乃足;恆德乃足,復歸於楃。
  知其[白],守其黑,為天下式;為天下式,恆德不貣;恆德不貣,復歸於无極。
  楃散則為器,聲人用則為官長。
  夫大制无割。
 
 
第七十一章(王本29章)
  將欲取天下而為之,吾見其弗得已。
  夫天下神器也,非可為者也。為者敗之,執者失之。
  物或行或隨,或炅或吹,或強或碎(石坐),或坏或撱。
  是以聲人去甚、去大、去楮。
 
 
第七十二章(王本30章)
  以道佐人主,不以兵強於天下,其事好還。師之所居,楚朸生之。
  善者果而已矣,毋以取強焉。
  果而毋驕,果而勿矜,果而毋傷,果而毋得已居,是胃:果而不強。
  物壯而老,是胃之不道,不道蚤已。
 
第七十三章(王本31章)
  夫兵者,不祥之器也,物或惡之,故有欲者弗居。
  君子居則貴左,用兵則貴右。故兵者,非君子之器也。
  兵者,不祥之器也,不得已而用之,銛襲為上。
  勿美也,若美之,是樂殺人也。夫樂殺人,不可以得志於天下矣。
  是以:吉事上左,喪事上右;是以:偏將軍居左,上將軍居右,言以喪禮居之也。
  殺人眾,以悲依立之;戰勝,以喪禮處之。
 
第七十四章(王本32章)
  道,恆无名。楃唯小,而天下弗敢臣。侯王若能守之,萬物將自賓。
  天地相谷{合},以俞甘洛;民莫之令,而自均焉。
  始制有名,名亦既有;夫亦將知止,知止所以不殆。
  俾道之在天下也,猷小浴之與江海也。
 
 

 
第七十五章(王本33章)
  知人者,知也;
  自知者,明也;
  勝人者,有力也;
  自勝者,強也;
  知足者,富也;
  強行者,有志也;
  不失其所者,久也;
  死不忘者,壽也。
  
 
第七十六章(王本34章)
  道汎呵,其可左右也,成功遂事而弗名有也。
  萬物歸焉而弗為主,則恆无欲也,可名於小;
  萬物歸焉而弗為主,可名於大。
  是以聲人之能成大也,以其不為大也,故能成大。
 
 
第七十七章(王本35章)
  執大象,天下往;往而不害,安平大。
  樂與餌,過格止。
  故道之出言也,曰:
  談呵,其无味也;
  視之,不足見也;
  聽之,不足聞也;
  用之,不可既也。
 
第七十八章(王本36章)
  將欲拾之,必古張之;
  將欲弱之,必古強之;
  將欲去之,必古與之;
  將欲奪之,必古予之;
  是胃微明(目目)。
  友弱勝強。
  魚不脫於潚,邦利器不可以視人。
 
 
第七十九章(王本37章)
  道恆无名,侯王若守之,萬物將自化(為心)。
  化而欲作,吾將闐之以无名之楃;
  闐之以无名之楃,夫將不辱;
  不辱以情,天地將自正。
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  • 癲癇是一種大腦神經元突發性異常放電的疾病

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  • 擺線 最速降線問題



最速降線問題[編輯]https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%9C%80%E9%80%9F%E9%99%8D%E7%B7%9A%E5%95%8F%E9%A1%8C











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擺線 最速降線問題


此條目包含過多行話或專業術語,可能需要簡化或提出進一步解釋。 (2015年6月16日)
請在討論頁中發表對於本議題的看法,並移除或解釋本條目中的行話。










擺線 最速降線問題


此條目需要補充更多來源。 (2015年6月16日)
請協助補充多方面可靠來源以改善這篇條目,無法查證的內容可能會因為異議提出而被移除。
致使用者:請搜尋一下條目的標題(來源搜尋:"最速降線問題" — 網頁、新聞、書籍、學術、圖像),以檢查網路上是否存在該主題的更多可靠來源(判定指引)。


擺線 最速降線問題
從點A到點B的最速降線是一條擺線。


最速降線問題,又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下:假想你正在側視的場景有高低不同的兩點,且高點不是在低點的正上方,若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑(直線、曲線、或折線皆可)滑到低點,其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力,則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短?在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brachistos)和「時間」(chronos)。本問題的解答是擺線(而非很多人會猜想的直線),可以用變分法證明。



歷史


[編輯]

1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·白努利參考之前分析過的等時降落軌跡,證明了此線是擺線,並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各·白努利、萊布尼茲和羅必達都得出同一結論,即正確的答案應該是擺線的一段。除了羅必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。



證明


[編輯]


約翰·白努利的證明


[編輯]

費馬原理說明,兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰·白努利利用該原理,對此問題進行解決。


運用機械能守恆定律,可以導出在恆定重力場中運動的物體的速度滿足



v=2gy{\displaystyle v={\sqrt {2gy}}},


式中y表示物體在豎直方向上落下的距離,g為重力加速度。通過機械能守恆可知,經不同的曲線落下,物體的速度與水平方向的位移無關。
通過假設光在光速v在滿足:v=2gy{\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}的傳輸介質中運動形成的軌跡來導出最速降線。
約翰·白努利注意到,根據折射定律,一束光在密度不均的介質中傳播時存在一常數



sin⁡θv=1vdxds=1vm{\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}},


式中vm為常數(可認為為真空中光速c,θ為軌跡與豎直方向的夾角,dx為水平方向路徑微分,ds為運動方向路徑微分。


通過上述方程式,我們可以得到兩條結論:



  1. 在剛開始,當質點的速度為零時,夾角也必然是零。因此,最速降線在起始處與豎直方向相切。



  1. 當軌跡變為水平即夾角變為90°時,速度達到最大。


為了簡化過程,我們假設質點(或光束)相對於原點(0,0)有坐標(x,y),且當下落了豎直距離D後達到了最大速度,則



vm=2gD{\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}.


整理折射定律式中的各項並平方得到



vm2(dx)2=v2(ds)2=v2((dx)2+(dy)2){\displaystyle v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})}


可以解得dx對dy有



dx=vdyvm2−v2{\displaystyle dx={\frac {vdy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}.


代入v和vm的表達式得到



dx=yD−ydy{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy}


這是一個由直徑為D的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程式。



雅各·白努利的證明


[編輯]

約翰的哥哥雅各·白努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現代版本的證明如下。
如果我們從最短時間路徑發生微小移動,那麼形成三角形滿足



ds2=dx2+dy2{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}.


dy不變求微分,得到



2ds d2s=2dx d2x{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}


最後整理得到



dxdsd2x=d2s=v d2t{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}


最後的部分即二階微分下距離的改變量與給定的時間的關係。現在考慮下圖中的兩條相鄰路徑,中間的水平間隔為d2x。對新舊兩條路徑,改變量為


擺線 最速降線問題


d2t1=1v1dx1ds1d2x{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}



d2t2=1v2dx2ds2d2x{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}


對於最短時間的路徑,兩個時間相等,故得到



d2t2−d2t1=0=(1v2dx2ds2−1v1dx1ds1)d2x{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}


因此最短時間的情況為



1v2dx2ds2=1v1dx1ds1{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}



最速降線的數學形式與最短時間


[編輯]

在垂直平面上,自原點(0,0){\displaystyle \left(\,0,\,0\right)}至目的地(x1,y1){\displaystyle \left(\,x_{1},\,y_{1}\right)}的最速降線具有以下數學形式:



x=12k2(θ−sin⁡θ), y=12k2(1−cos⁡θ).{\displaystyle x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).}[1]


這裡的y{\displaystyle y}座標軸方向向下,且y1≥0{\displaystyle y_{1}\geq 0};θ{\displaystyle \theta }為此擺線參數表達式的參數,原點處θ=0{\displaystyle \theta =0}。


物體自原點沿最速降線滑至θ=θ1{\displaystyle \theta =\theta _{1}}處所需的時間可由以下積分式給出:



t=∫θ=0θ=θ1dt=∫θ=0θ=θ1dsv{\displaystyle t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}\mathrm {d} t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}{\frac {\mathrm {d} s}{v}}}。


利用ds=dx2+dy2{\displaystyle ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}}以及v=2gy{\displaystyle v={\sqrt {2gy}}},並以θ{\displaystyle \theta }作為參數,整理後得



dsv=k2gdθ{\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta }



t=k2gθ1{\displaystyle t={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\theta _{1}}。


自此擺線的參數式中易知y{\displaystyle y}的最大值為k2{\displaystyle k^{2}},此值必須等於擺線的繞轉圓直徑2r{\displaystyle 2r},因此



k=2r{\displaystyle k={\sqrt {2r}}}



t=θ1rg{\displaystyle t=\theta _{1}{\sqrt {\frac {r}{g}}}}。


現假設終點與原點直線距離 l {\displaystyle \ l\ },且終點對原點的仰角為ϕ{\displaystyle \phi }。利用此擺線的參數式,可知



l=x12+y12=r(θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2{\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}


擺線 最速降線問題
最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺,下滑時間隨俯角增大而縮短。



tan⁡ϕ=y1x1=1−cos⁡θθ−sin⁡θ{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}}


利用l{\displaystyle l}的關係式求出r{\displaystyle r},並代回下滑時間中,得



t(l,θ)=lgθ(θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)24{\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}


綜合上述,討論在 l {\displaystyle \ l\ }已知的情況下,下滑時間t{\displaystyle t}與俯角ϕ{\displaystyle \phi }的關係為



(ϕ,t)=(arctan⁡1−cos⁡θθ−sin⁡θ,lgθ(θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)24){\displaystyle \left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}\right)}。



外部連結


[編輯]


  • 重力下的最快下降曲線 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館):國立中央大學物理演示實驗網站;內含實驗影片。

  • Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館):有詳細的公式證明。(英文)



參考資料


[編輯]


  1. ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. (原始內容存檔於2020-11-12).





分類:​

  • 曲線

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擊退動脈硬化最強!她61歲靠秋葵水讓糖尿病數值下降,連醫師也
https://www.edh.tw/article/27902
 
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  • 羅馬輸水系統大部結構簡介

可能是地圖和顯示的文字是「 source river gallery drop shafts Roman Water Supply tunnel aqueduct bridge siphon 1 distribution station arcade ROGER KLAASSEN illustratie, strip cartoon Cnan fountains baths nymphaeum 」的圖像




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驚人的「投資思維」:真正的投資,與金錢無關!好好投資你的35-55歲https://www.trhen.com/doc_b1BrcHlDZW5PRVhuMnQrc1B2ZFdJZz09
2023/06/08
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最新留言

  • [22/07/08] 訪客 於文章「s集回檔...」留言:
    回饋您這方面資訊,我是從 PTT搜尋引擎的排名,看...
  • [13/07/29] SaleRent 於文章「師父,我人生最大的價值是什麼呢?...」留言:
    這就是人性.......
  • [12/12/31] SaleRent 於文章「馬雅預言...」留言:
    有日光的地方是台灣第一本日光的旅遊書...
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  • [12/12/31] SaleRent 於文章「龍辰初冬...創作 陳祖頤...」留言:
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  • [12/05/21]  於文章「說謊眼睛會看左側? /po...」留言:
    ◎ 市場優勢:市場廣大、24小時連睡眠時間皆有收入、公平、安...
  • [12/03/26] sxoqsjr 於文章「吃魚隨想 創作...」留言:
    大家好...
  • [12/03/26] nzehob 於文章「千と千尋の神隠し -艾莉媞之歌...」留言:
    加油喔...
  • [12/03/03] zpvkgv 於文章「健康樂活網-中國醫典 經典...」留言:
    路過...

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