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最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法證明。

1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·白努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各·白努利、萊布尼茲和羅必達都得出同一結論，即正確的答案應該是擺線的一段。除了羅必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

費馬原理說明，兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰·白努利利用該原理,對此問題進行解決。

運用機械能守恆定律，可以導出在恆定重力場中運動的物體的速度滿足

v=2gy,

式中y表示物體在豎直方向上落下的距離，g為重力加速度。通過機械能守恆可知，經不同的曲線落下，物體的速度與水平方向的位移無關。
通過假設光在光速v在滿足:v=2gy的傳輸介質中運動形成的軌跡來導出最速降線。
約翰·白努利注意到，根據折射定律，一束光在密度不均的介質中傳播時存在一常數

sin⁡θv=1vdxds=1vm,

式中v_m為常數(可認為為真空中光速c，θ為軌跡與豎直方向的夾角，dx為水平方向路徑微分，ds為運動方向路徑微分。

通過上述方程式，我們可以得到兩條結論：

1. 在剛開始，當質點的速度為零時，夾角也必然是零。因此，最速降線在起始處與豎直方向相切。

1. 當軌跡變為水平即夾角變為90°時，速度達到最大。

為了簡化過程，我們假設質點（或光束）相對於原點(0,0)有坐標(x,y)，且當下落了豎直距離D後達到了最大速度，則

vm=2gD.

整理折射定律式中的各項並平方得到

vm2(dx)2=v2(ds)2=v2((dx)2+(dy)2)

可以解得dx對dy有

dx=vdyvm2−v2.

代入v和v_m的表達式得到

dx=yD−ydy

這是一個由直徑為D的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程式。

約翰的哥哥雅各·白努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現代版本的證明如下。
如果我們從最短時間路徑發生微小移動，那麼形成三角形滿足

ds2=dx2+dy2.

dy不變求微分，得到

2ds d2s=2dx d2x

最後整理得到

dxdsd2x=d2s=v d2t

最後的部分即二階微分下距離的改變量與給定的時間的關係。現在考慮下圖中的兩條相鄰路徑，中間的水平間隔為d²x。對新舊兩條路徑，改變量為

d2t1=1v1dx1ds1d2x

d2t2=1v2dx2ds2d2x

對於最短時間的路徑，兩個時間相等，故得到

d2t2−d2t1=0=(1v2dx2ds2−1v1dx1ds1)d2x

因此最短時間的情況為

1v2dx2ds2=1v1dx1ds1

在垂直平面上，自原點(0,0)至目的地(x1,y1)的最速降線具有以下數學形式：

x=12k2(θ−sin⁡θ), y=12k2(1−cos⁡θ).^[1]

這裡的y座標軸方向向下，且y1≥0；θ為此擺線參數表達式的參數，原點處θ=0。

物體自原點沿最速降線滑至θ=θ1處所需的時間可由以下積分式給出：

t=∫θ=0θ=θ1dt=∫θ=0θ=θ1dsv。

利用ds=dx2+dy2以及v=2gy，並以θ作為參數，整理後得

dsv=k2gdθ

t=k2gθ1。

自此擺線的參數式中易知y的最大值為k2，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑2r，因此

k=2r

t=θ1rg。

現假設終點與原點直線距離 l ，且終點對原點的仰角為ϕ。利用此擺線的參數式，可知

l=x12+y12=r(θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2

tan⁡ϕ=y1x1=1−cos⁡θθ−sin⁡θ

利用l的關係式求出r，並代回下滑時間中，得

t(l,θ)=lgθ(θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)24

綜合上述，討論在 l 已知的情況下，下滑時間t與俯角ϕ的關係為

(ϕ,t)=(arctan⁡1−cos⁡θθ−sin⁡θ,lgθ(θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)24)。

• 重力下的最快下降曲線 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
• Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：有詳細的公式證明。（英文）

1. ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. （原始內容存檔於2020-11-12）.

分類：​

• 曲線
• 數學問題